Estudando médias

Estudando médias

    Quando pretendemos estudar um fenômeno estatísticos, recorremos a certos parâmetros que representam, de forma precisa, as propriedades da distribução dos dados relativos a esse fenômeno.     

      Nesta postagem, vamos estudar os parâmetros de tendência central: a média aritimética e amédia aritimética ponderada.  

       Acompanhe os exemplos a seguir.

      1º As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são: 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe?

25 + 27 + 22 + 30 + 31  =  135  = 27

                 5                      5

Então, a idade média dos jogadores titulares dessa equipe é 27 anos.

O número 27 é chamado média aritimética dos números 25, 27, 22, 30 e 31.

Assim, podemos escrever:

A média aritimética de n de números representa a soma de todos os números dividoda por n.

2º A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos, a seguir: 27, 30, 30, 32, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual a idade média dos membros da diretoria desse clube?

     Considerando os dados do problema, observamos que: o valor 27 se repete 2 vezes; o valor 30 se repete 5 vezes; o valor 32 se repete 3 vezes.

      Assim, a média das idades pode ser calculada de forma mais simples:

27 . 2 + 30 . 5 + 32 . 3  =  54 + 150 + 96  =  300  = 30

          2 + 5 + 3                       10                 10

Então, a idade média dos membros da diretoria é 30 anos.

O número 30 assim obtido é chamado média aritimética.

3º As médias de uma garota da unidade de matemática foram: 6.0, 7.0, 5.0. Qual vai ser a média do bimestre dessa garota?

O professor não atribui pesos diferêntes para as notas.

Nesse caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e dividindo-se o resultado por 3

6.0 + 7.0 + 5,0   =   18  =  6.0

         3                   3 

O número obtido 6.0 pontos é chamado média aritimética dos números chamados 6.0, 7.0 e 5.0

O professor atribui pesos diferêntes para cada nota, conforme, o seguinte critério: a primeira prova tem peso 3; a nota do trabalho de pesquisa tem peso 2; a nota da segunda prova tem peso 5.

Neste caso, am édia da aluna é calculada assim:

6,0 . 3 + 7,0 . 2 + 5,0 . 5   =  18 + 14 + 25  =  57  =  5,7

          3 + 2 + 5                             10            10

Portanto a aluna teve média 5,7.

Neste caso, o número 5,7 é chamado média aritimética ponderada dos números 6,0; 7,0; 5,0.

Pelos exemplos dados, observamos que a média de uma aluna pode ser diferênte, embora as notas sejam as mesmas. Logo, vemos que uma média depende das regras estabelecidas para o seu cálculos.

Os vários tipos de representação gráfica constituem uma ferramenta importante, pois facilitam a análise e a interpretação de um conjunto de dados.


Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação (jornais, revistas, internet) e estão ligados aos mais variados assuntos do nosso cotidiano.
Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos interpretar as informações. Os dados coletados e distribuídos em planilhas podem ser organizados em gráficos e apresentados de uma forma mais clara e objetiva.


Várias instituições financeiras espalhadas pelo mundo (Bovespa, BM&F, Down Jones, Nasdaq, Bolsa de Nova York, Frankfurt, Hong-Kong, etc.) fazem uso dos gráficos para mostrar a seus investidores os lucros, os prejuízos, as melhores aplicações, os índices de mercado, variação do Dólar e do Euro (moedas de trocas internacionais), valorização e desvalorização de ações, dividendos, variação das taxas de inflação de países e etc.
O recurso gráfico possibilita aos meios de comunicação a elaboração de inúmeras ilustrações, tornando a leitura mais agradável.

Representações gráficas
Gráfico de segmentos


Observe a tabela que mostra a venda de livros de uma livraria no primeiro semestre de determinado ano:

O gráfico de segmento é utilizado principalmente para mostrar crescimento, decréscimo ou estabilidade.

Gráfico de Barras e de colunas


A tabela a seguir mostra o desempenho em Matemática dos alunos de uma determinada série:

Gráfico de setores

Noções elementares de Estatística: medidas de tendência central e de dispersão

1 – Introdução

No Novo Dicionário Brasileiro – Ed. Melhoramentos – 7ª edição – 1971 lê-se para o verbete estatística -  1. conjunto de processos que tem por objeto a observação, classificação formal e análise dos fenômenos coletivos ou de massa, bem como a indução das leis a que tais fenômenos globalmente obedeçam. 2. apresentação numérica, em tabelas ou gráficos, dos resultados da observação de fenômenos de massa. Claro que o termo massa , refere-se à população e não ao conceito físico.

Os dados estatísticos devem ser apresentados na forma de tabelas, de modo a facilitar a sua interpretação. Imaginemos por exemplo o conjunto de valores a seguir, coletados numa sala de aula com 32 alunos, referente às idades dos alunos em anos:

17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18,
19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20,
20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21,
21, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23.

Nota: dados expressos desta forma são ditos dados não agrupados.

Poderemos representar estes dados de uma forma mais organizada, conforme tabela a seguir, onde a coluna frequência representa o número de ocorrências de cada idade:

Idade (a)	Freqüência
17	3
18	5
19	5
20	7
21	8
22	2
23	2
Total	32

Observem que a apresentação dos dados na forma de tabela facilita e muito a interpretação.
Considere agora a relação dos pesos (em kg) de 30 alunos de uma sala, indicada a seguir:
75 – 68 – 75 – 59 – 68 – 80 – 84 – 68 – 80 – 68
68 – 75 – 75 – 80 – 80 – 75 – 80 – 68 – 84 – 75
68 – 59 – 68 – 80 – 80 – 68 – 80 – 75 – 68 – 80

Observem que estes dados não agrupados, podem até causar confusão para sua interpretação. E vejam que são somente 30 alunos; imaginem se fossem 3000?  Vejam os mesmos dados agrupados conforme tabela abaixo:

Peso (kg)	Freqüência (f)
59	2
68	10
75	7
80	9
84	2
Total	30

É evidente que a representação na forma de tabela é muito mais conveniente para qualquer análise que se deseje fazer em relação aos dados. O uso de tabelas (dados agrupados) é muito difundido em Estatística.
Os mesmos dados acima, poderiam ser agrupados com os pesos em classes de 10 em 10 kg, da seguinte forma:

Peso (em kg)	Freqüência
50 |---- 60	2
60 |---- 70	10
70 |---- 80	7
80 |---- 90	11
Total	30

Notas:
a) claro que poderíamos dividir os pesos de 5 em 5kg, 6 em 6kg, etc. Estes intervalos são denominados classes. 
b) o símbolo |--- significa que o extremo 50 pertence ao intervalo e o extremo 60 não pertence ao intervalo. Por exemplo, se quiséssemos indicar que o valor 60 pertence ao intervalo, escreveríamos: 50|---|60. (Os pontos tracejados devem ser escritos de forma contínua; não encontrei símbolo para isto no teclado).
Na Estatística, a representação dos dados através de tabelas é bastante comum. Estes dados tabulados são conhecidos como distribuições de frequência. 

Propriedades dos Paralelogramos

Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.

Classificação dos Paralelogramos

                          

Paralelogramo	Rectângulo
AB = CD e AD = BC	(todos os ângulos são geometricamente iguais)
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º
Losango ou Rombo	Quadrado
(todos os lados são geometricamente iguais)	(todos os lados e ângulos são geometricamente iguais)
AB = BC = CD = DA	AB = BC = CD = DA
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º

                                                                   

Rectângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.

Losango ou Rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais.

Quadrado é o rectângulo cujos lados são todos iguais.

Relações de um Paralelogramo

1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares:

ÐBAD  @ ÐBCD      (ÐABC) + (ÐBCD) = 180º   

ÐABC  @ ÐADC      (ÐBAD) + (ÐADC) = 180º   

2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geométricamente iguais:

[AB] @ [CD]

[AD] @ [BC]

3 - As diagonais de um paralelogramo bissectam-se (dividem-se em duas partes geometricamente iguais) uma à outra:

[AO] @ [OC]

[BO] @ [OD]

O é o ponto médio de [AC] e [BD]

4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais:

Δ[ABC] @ Δ[ACD]

Linhas notáveis de um Paralelogramo

Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados.

Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.

Altura de um paralelogramo é o segmento de recta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto.

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.





Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.







Elementos

Na figura abaixo, temos:



Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .


Observações


Todo quadrilátero tem duas diagonais.


O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.



Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.



 

A construção das pirâmides botou milhares de egípcios para suar, exigiu conhecimentos avançados de matemática e muitas pedras. Das cem pirâmides conhecidas no Egito, a maior (e mais famosa) é a de Quéops, única das sete maravilhas antigas que resiste ao tempo. Datada de 2 550 a.C., ela foi a cereja do bolo de uma geração de faraós com aspirações arquitetônicas. Khufu (ou Quéops, seu nome em grego), que encomendou a grande pirâmide, era filho de Snefru, que já tinha feito sua piramidezinha. O conhecimento passou de geração em geração, e Quéfren, filho de Quéops, e Miquerinos, o neto, completaram o trio das pirâmides de Gizé. Para botar de pé os monumentos, que nada mais eram que tumbas luxuosas para os faraós, estima-se que 30 mil egípcios trabalharam durante 20 anos. “Esses trabalhadores eram trocados a cada três meses. A maioria trabalhava no corte e transporte dos blocos”, diz Antonio Brancaglion Jr., egiptólogo do Museu Nacional da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Além do pessoal que pegava pesado, havia arquitetos, médicos, padeiros e cervejeiros. Tudo indica que esses caras eram livres (e não escravos), pagos com cerveja e alimentos. Mas há controvérsias. Alguns apostam em 100 mil trabalhadores, além de teses que atribuem a obra a ETs!

Pedra sobre pedra
Cerca de 2,3 milhões de blocos ajudaram a botar de pé a pirâmide de Quéops

As pedras foram o começo de tudo – cada bloco pesava em média 2,5 toneladas, mas isso variava: o tamanho diminuía de acordo com a altura, e em lugares específicos, como a câmara do rei, havia pedras gigantes, estimadas em até 80 toneladas. Depois de cortados nas pedreiras, os blocos eram lixados e catalogados: escrevia-se o nome do faraó e o do grupo de trabalhadores responsáveis. No total, 2,3 milhões de blocos teriam sido usados na construção da pirâmide de Queóps

É PEDREIRA!

Para erguer as pirâmides, o terreno foi aplainado. Além de deixar a terra pronta para o trabalho, o processo rendeu uma fonte natural de matéria-prima: o platô era rico em rochas calcárias, um tipo de pedra mais mole, extraída com ferramentas de cobre. Rochas de calcário mais fino, usadas para dar brilho à pirâmide, vinham da região próxima de Tura

VOU DE BARCO

O faraó escolheu granito para decorar a câmara do rei, onde ele foi sepultado. Como a pedra não era encontrada na região, os blocos vinham de até 800 quilômetros de distância, da pedreira de Assuã, em barcos pelo rio Nilo. Os pesadíssimos blocos, alguns com até 80 toneladas, também revestiam as câmaras e os corredores internos

BASE CONCRETA

Para alguns pesquisadores, a análise da taxa de minerais presentes em partes dos blocos da pirâmide mostra que pode ter sido usado um tipo de concreto primitivo tanto na parte externa quanto na interna. Se a teoria for verdade, essa terá sido a primeira aplicação de concreto de que se tem notícia – antes disso, os pioneiros eram os romanos.

Rock’n'roll
Teorias explicam como os egípcios rolaram as pedras

A proeza de transportar os blocos gigantes é tão complexa que até hoje não existe consenso. Isso pode ter sido feito com cordas; com uma espécie de trenó de troncos de madeira cilíndricos, sobre os quais as pedras deslizavam; ou com a ajuda de tafla, um tipo de barro que, molhado, fica escorregadio e ajuda a deslizar os blocos. Depois de assentados, os blocos eram cortados em um ângulo de 51º, o que deixava a face da pirâmide lisa

SUBINDO A LADEIRA

O que é – Uma rampa feita de terra e cascalho, com escoras nas laterais

Pontos positivos – Como ocuparia apenas uma das faces, esta rampa deixaria as laterais da pirâmide livre – assim, seria mais fácil checar se a obra estava “torta”

Pontos negativos – Para que a rampa alcançasse a altura total, teria que ser muuuito longa, e o trabalho teria que ser interrompido toda vez que fosse necessário espichá-la

ZIGUEZAGUE

O que é – Rampa única em ziguezague construída em torno da pirâmide. É a teoria mais popular atualmente

Pontos positivos – A rampa teria uma inclinação constante, ao contrário da rampa única

Pontos negativos – A rampa tampa a visão da totalidade da obra. Assim, haveria o risco de, ao desmanchar a rampa, perceber que as faces da pirâmide estavam tortas

DEBAIXO DOS CARACÓIS

O que é – Até os 43 metros de altura, usa-se a rampa externa. A partir daí, seria usada uma rampa interna em espiral, recuada a 15 metros da face externa. No fim de cada andar, uma aresta permite que as pedras girem 90º

Pontos positivos – Reaproveitaria o material da rampa externa para o resto da construção. Um sistema de contrapeso carregaria as pedras maiores

Pontos negativos – Como a linha não é reta, a rampa aumentaria a distância pela qual os blocos teriam que ser arrastados

PAU NA MÁQUINA

O que é – Várias teorias sugerem que máquinas eram usadas para subir os blocos pirâmide acima. Essas máquinas poderiam ser guindastes, alavancas ou sistema de gangorras, com um cesto de areia de um lado e o bloco de outro

Pontos positivos – As máquinas dariam alívio à dureza do trabalho braçal

Pontos negativos – Faltaria espaço para manobrar, e as máquinas não dariam conta dos blocos maiores

TAMANHO É DOCUMENTO

Comparada com prédios e campos de futebol, a pirâmide sai ganhando

ALTURA – 147 metros

Equivale a – Prédio de 49 andares – o Copan, por exemplo, tem 140 metros

PESO DE 1 BLOCO – 2,5 toneladas

Equivale a – 3 Fuscas de 800 quilos

PESO TOTAL – 6,5 milhões de toneladas

Equivale a – 11,5 navios de carga carregados

ÁREA – 13 acres (52 598 m2)

Equivale a – 6 campos de futebol.

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola