Propriedades dos Paralelogramos

Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.

Classificação dos Paralelogramos

                          

Paralelogramo	Rectângulo
AB = CD e AD = BC	(todos os ângulos são geometricamente iguais)
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º
Losango ou Rombo	Quadrado
(todos os lados são geometricamente iguais)	(todos os lados e ângulos são geometricamente iguais)
AB = BC = CD = DA	AB = BC = CD = DA
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º

                                                                   

Rectângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.

Losango ou Rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais.

Quadrado é o rectângulo cujos lados são todos iguais.

Relações de um Paralelogramo

1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares:

ÐBAD  @ ÐBCD      (ÐABC) + (ÐBCD) = 180º   

ÐABC  @ ÐADC      (ÐBAD) + (ÐADC) = 180º   

2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geométricamente iguais:

[AB] @ [CD]

[AD] @ [BC]

3 - As diagonais de um paralelogramo bissectam-se (dividem-se em duas partes geometricamente iguais) uma à outra:

[AO] @ [OC]

[BO] @ [OD]

O é o ponto médio de [AC] e [BD]

4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais:

Δ[ABC] @ Δ[ACD]

Linhas notáveis de um Paralelogramo

Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados.

Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.

Altura de um paralelogramo é o segmento de recta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto.

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.





Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.







Elementos

Na figura abaixo, temos:



Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .


Observações


Todo quadrilátero tem duas diagonais.


O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.



Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.



 

A construção das pirâmides botou milhares de egípcios para suar, exigiu conhecimentos avançados de matemática e muitas pedras. Das cem pirâmides conhecidas no Egito, a maior (e mais famosa) é a de Quéops, única das sete maravilhas antigas que resiste ao tempo. Datada de 2 550 a.C., ela foi a cereja do bolo de uma geração de faraós com aspirações arquitetônicas. Khufu (ou Quéops, seu nome em grego), que encomendou a grande pirâmide, era filho de Snefru, que já tinha feito sua piramidezinha. O conhecimento passou de geração em geração, e Quéfren, filho de Quéops, e Miquerinos, o neto, completaram o trio das pirâmides de Gizé. Para botar de pé os monumentos, que nada mais eram que tumbas luxuosas para os faraós, estima-se que 30 mil egípcios trabalharam durante 20 anos. “Esses trabalhadores eram trocados a cada três meses. A maioria trabalhava no corte e transporte dos blocos”, diz Antonio Brancaglion Jr., egiptólogo do Museu Nacional da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Além do pessoal que pegava pesado, havia arquitetos, médicos, padeiros e cervejeiros. Tudo indica que esses caras eram livres (e não escravos), pagos com cerveja e alimentos. Mas há controvérsias. Alguns apostam em 100 mil trabalhadores, além de teses que atribuem a obra a ETs!

Pedra sobre pedra
Cerca de 2,3 milhões de blocos ajudaram a botar de pé a pirâmide de Quéops

As pedras foram o começo de tudo – cada bloco pesava em média 2,5 toneladas, mas isso variava: o tamanho diminuía de acordo com a altura, e em lugares específicos, como a câmara do rei, havia pedras gigantes, estimadas em até 80 toneladas. Depois de cortados nas pedreiras, os blocos eram lixados e catalogados: escrevia-se o nome do faraó e o do grupo de trabalhadores responsáveis. No total, 2,3 milhões de blocos teriam sido usados na construção da pirâmide de Queóps

É PEDREIRA!

Para erguer as pirâmides, o terreno foi aplainado. Além de deixar a terra pronta para o trabalho, o processo rendeu uma fonte natural de matéria-prima: o platô era rico em rochas calcárias, um tipo de pedra mais mole, extraída com ferramentas de cobre. Rochas de calcário mais fino, usadas para dar brilho à pirâmide, vinham da região próxima de Tura

VOU DE BARCO

O faraó escolheu granito para decorar a câmara do rei, onde ele foi sepultado. Como a pedra não era encontrada na região, os blocos vinham de até 800 quilômetros de distância, da pedreira de Assuã, em barcos pelo rio Nilo. Os pesadíssimos blocos, alguns com até 80 toneladas, também revestiam as câmaras e os corredores internos

BASE CONCRETA

Para alguns pesquisadores, a análise da taxa de minerais presentes em partes dos blocos da pirâmide mostra que pode ter sido usado um tipo de concreto primitivo tanto na parte externa quanto na interna. Se a teoria for verdade, essa terá sido a primeira aplicação de concreto de que se tem notícia – antes disso, os pioneiros eram os romanos.

Rock’n'roll
Teorias explicam como os egípcios rolaram as pedras

A proeza de transportar os blocos gigantes é tão complexa que até hoje não existe consenso. Isso pode ter sido feito com cordas; com uma espécie de trenó de troncos de madeira cilíndricos, sobre os quais as pedras deslizavam; ou com a ajuda de tafla, um tipo de barro que, molhado, fica escorregadio e ajuda a deslizar os blocos. Depois de assentados, os blocos eram cortados em um ângulo de 51º, o que deixava a face da pirâmide lisa

SUBINDO A LADEIRA

O que é – Uma rampa feita de terra e cascalho, com escoras nas laterais

Pontos positivos – Como ocuparia apenas uma das faces, esta rampa deixaria as laterais da pirâmide livre – assim, seria mais fácil checar se a obra estava “torta”

Pontos negativos – Para que a rampa alcançasse a altura total, teria que ser muuuito longa, e o trabalho teria que ser interrompido toda vez que fosse necessário espichá-la

ZIGUEZAGUE

O que é – Rampa única em ziguezague construída em torno da pirâmide. É a teoria mais popular atualmente

Pontos positivos – A rampa teria uma inclinação constante, ao contrário da rampa única

Pontos negativos – A rampa tampa a visão da totalidade da obra. Assim, haveria o risco de, ao desmanchar a rampa, perceber que as faces da pirâmide estavam tortas

DEBAIXO DOS CARACÓIS

O que é – Até os 43 metros de altura, usa-se a rampa externa. A partir daí, seria usada uma rampa interna em espiral, recuada a 15 metros da face externa. No fim de cada andar, uma aresta permite que as pedras girem 90º

Pontos positivos – Reaproveitaria o material da rampa externa para o resto da construção. Um sistema de contrapeso carregaria as pedras maiores

Pontos negativos – Como a linha não é reta, a rampa aumentaria a distância pela qual os blocos teriam que ser arrastados

PAU NA MÁQUINA

O que é – Várias teorias sugerem que máquinas eram usadas para subir os blocos pirâmide acima. Essas máquinas poderiam ser guindastes, alavancas ou sistema de gangorras, com um cesto de areia de um lado e o bloco de outro

Pontos positivos – As máquinas dariam alívio à dureza do trabalho braçal

Pontos negativos – Faltaria espaço para manobrar, e as máquinas não dariam conta dos blocos maiores

TAMANHO É DOCUMENTO

Comparada com prédios e campos de futebol, a pirâmide sai ganhando

ALTURA – 147 metros

Equivale a – Prédio de 49 andares – o Copan, por exemplo, tem 140 metros

PESO DE 1 BLOCO – 2,5 toneladas

Equivale a – 3 Fuscas de 800 quilos

PESO TOTAL – 6,5 milhões de toneladas

Equivale a – 11,5 navios de carga carregados

ÁREA – 13 acres (52 598 m2)

Equivale a – 6 campos de futebol.

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.

Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.

Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.

Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).

Classificação dos triângulos quanto ao número de lados

Triângulo Equilátero	Os três lados têm medidas iguais. m(AB)=m(BC)=m(CA)
Triângulo Isósceles	Dois lados têm a mesma medida. m(AB)=m(AC)
Triângulo Escaleno	Todos os três lados têm medidas diferentes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos

Triângulo Acutângulo	Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo Obtusângulo	Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo	Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). 
Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 

4x² + 8x + 6xy + 12y 
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y (12 = 6*2) 
4x(x + 2) + 6y(x + 2) 
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum. 
(4x + 6y) (x + 2) 

Observe mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento: 

Exemplo 1 
2xy – 12x + 3by – 18b 
2x(y – 6) + 3b(y – 6) 
(2x + 3b)( (y – 6) 

Exemplo 2 
6x²b + 42x² – y²b – 7y² 
6x²(b + 7) – y²(b + 7) 
(6x² – y²) (b + 7) 

Exemplo 3 
x² – 10x + xy – 10y 
x(x – 10) + y(x – 10) 
(x + y) ( x – 10) 

Exemplo 4 
a³b + a² + 5ab³ + 5b² 
a²(ab + 1) + 5b²(ab + 1) 
(a² + 5b²) (ab + 1) 
Exemplo 5 
2xy – 4x + 3xy – 6x + 4xy – 8x 
2x(y – 2) + 3x(y – 2) + 4x (y – 2) 
(2x + 3x + 4x) (y – 2) 
9x (y – 2)

produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

É Brincando que se Aprende.

JOGO: BINGO ALGÉBRICO 
7º série e 8º série1)Conteúdos a serem trabalhados;
Fatoração e produtos notáveis
2)Objetivos da atividade;
• Trabalhar de forma lúdica conteúdos que são considerados difíceis pelos
alunos.
• Aprender a identificar as expressões algébricas que podem ser fatoradas
ou que são produtos notáveis.
• Diferenciar casos de fatoração

3)Habilidades trabalhadas;
• Raciocínio lógico;
• Associação;
• Aplicação de propriedades;
• Criatividade;
• Flexibilidade de pensamento.
4)Seqüência didática da atividade;
Encontrei no site www.eduquenet.net/jogosmatematicos.htm esse jogo interessantíssimo.