ESTUDANDO AS POTÊNCIAS E SUAS PROPRIEDADES

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar.

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16 
           ↓ Fatores iguais.

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.

Representamos uma potência da seguinte forma: 

A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.

  

Toda Base elevado a Zero, por definição é um, Veja: 5⁰= 1

No final destas explicações, tem um passo a passo explicando o motivo ok!

OPERAÇÕES

Atenção, os parênteses têm uma grande importância aqui, além da regra de sinal!

a)      7²= 49 pois 7.7= +49

b)     (-5)³= -125 pois (-5).(-5).(-5)= -125, resumindo, menos com menos virá mais, vezes outro menos, ficará menos, atenção na regra de sinal da multiplicação!!!

Lembre-se da regra sinal, vamos continuar!!! 

c)      -9²= -81 , motivo: -(9).(9)= -81... repare que o sinal negativo não pertence ao 9, logo, é 9² e o que der aqui coloque o sinal negativo na frente, veja a importância dos parênteses!!!

d)     -2⁵= -(2). (2). (2). (2). (2)= -32, repare, é o mesmo caso do exemplo acima, o sinal negativo não pertence ao 2. Coloquei os parênteses por capricho e por uma razão para eu não confundir nos sinais.

e)      (-2)⁶= +64, agora sim, reparem o uso dos parênteses,

 (-2). (-2). (-2). (-2). (-2). (-2)=+64 tem que fazer a regra de sinal, menos com menos +, +com- dá – e assim sucessivamente até dá +64. O sinal negativo está dentro dos parênteses, logo, tem que fazer a potenciação com o sinal.

f)       (-3)³= -27 , pois (-3). (-3) (-3)=-27, faça a regra de sinal, -com- virá +, e esse + com – virá -. Logo, -27, reparem a função dos parênteses!!!

g)      (+7)²= +49, quando o número é positivo, é a mesma coisa, (+7). (+7)=+49 , lembre-se estamos utilizando a regra de sinal da multiplicação.

h)     =o 2/3 está elevado a primeira dentro dos parênteses. Ficará assim:

à   fim! Há outro jeito de fazer isso veja:

=

i) =cuidado com o sinal negativo! Existem várias maneiras de resolver isso aqui, vejamos:

modo 1 à  =  

menos com menos virá + na regra de sinal da multiplicação.

modo 2 à  =

Repare que o sinal de negativo, deixei para o número 1. Como o sinal negativo está no meio da fração, ou o sinal é do 1 ou do 5.

j) = repare que o sinal de negativo está fora dos parênteses, logo, ficou fora da potenciação ok! Lembre-se há outras maneiras de resolver esses exercícios.

Outro modo seria à  enfim, 

Vejamos um exemplo: A= -(-10)³. Determine A

A= - (-10). (-10). (-10) à fazendo a regra de sinal da multiplicação,

- com - é  +, ..., e + com – é -, e por fim, - com - dá mais +

A= +10.10.10= +1000

ALGUMAS PROPRIEDADES NA MULTIPLICAÇÃO

“Só podemos fazer isso quando as bases são iguais”

Os expoentes nós somamos!

a)      6².6³ = 6⁵, potências de mesma base, repete a base e somam os expoentes, respeitando a regra de sinal.

b)     5.5².5⁴= 5⁹, pois o primeiro 5 está a primeira, a soma dos expoentes fica 1+2+4=9.

c)      2⁸.2^-3=2⁵ , fazendo a operação nos expoentes ficará 8-3=+5, por isso 2⁵

d)     4^-5.4¹² = 4⁷ , fazendo a operação com os expoentes -5+12 fica +7 pois o 12 é maior que  o 5 e prevalece o sinal do número maior!!!

e)      8⁹.8^-12= 8^-4 aqui o expoente ficou negativo, pois 9-12 fica -3 prevalece o sinal do número maior!

Lembre-se, só podemos fazer isso quando as bases são iguais, veja um contra exemplo:

2³.4⁴=2⁷ isso é FALSO,não pode somar os expoentes se as bases são diferentes!!! CUIDADO

Outro contra exemplo: 2³+2⁴=2⁷ isso é FALSO!!! Não se pode aplicar essa propriedade na soma e nem numa subtração, mesmo as bases sendo iguais! Neste caso ficaria 2³+2⁴=2.2.2+2.2.2.2à 8+16=24, agora sim!

Continuamos com outras propriedades...

Nos casos “f” e “g” os expoentes nós multiplicamos!

f)       (2³)²= 2⁶, quando isso acontece, é só você multiplicar os expoentes.

g)      =2²⁴ , pois os expoentes estão multiplicando, 3.2.4=24, por isso 2²⁴

ALGUMAS PROPRIEDADES NA DIVISÃO

“Só podemos fazer isso quando as bases são iguais”

Nós subtraímos os expoentes!

a)      =2⁴ pois fazendo as operações com os expoentes 8-4=4

b)     = 5^-5 pois fazendo as operações com os expoentes 2-7=-5

c)      = 3¹⁰ pois fazendo as operações com os expoentes 3-(-7)=+10 veja a regra de sinal, menos com menos virou +

d)     =6^-4 pois fazendo as operações com os expoentes -9-(-5)= -4 veja a regra de sinal, menos com menos virou + e como o nove é maior, ficou  o sinal negativo

POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

Quando o expoente for negativo, basta inverter, veja:

a)      5^-2 =

b)     

c)      2³.5² = 8.25= 200 repare que só foi invertido o 5^-2, pois o 2³ o expoente 3 já estava positivo, e não foi invertido, só é pra inverter quando o expoente estiver negativo!

d)     só inverti o 6 elevado a dois negativo!

e)      à  é só inverter os dois aos mesmo tempo:

===36

Toda Base elevado a Zero, por definição é um, Veja: 5⁰= 1

No final destas explicações está a prova ok

à  vejamos um exemplo: fazendo a continha à 

Ou também, podemos fazer assim: à 5³.5^-3=5⁰=1

Estudando médias

Estudando médias

    Quando pretendemos estudar um fenômeno estatísticos, recorremos a certos parâmetros que representam, de forma precisa, as propriedades da distribução dos dados relativos a esse fenômeno.     

      Nesta postagem, vamos estudar os parâmetros de tendência central: a média aritimética e amédia aritimética ponderada.  

       Acompanhe os exemplos a seguir.

      1º As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são: 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe?

25 + 27 + 22 + 30 + 31  =  135  = 27

                 5                      5

Então, a idade média dos jogadores titulares dessa equipe é 27 anos.

O número 27 é chamado média aritimética dos números 25, 27, 22, 30 e 31.

Assim, podemos escrever:

A média aritimética de n de números representa a soma de todos os números dividoda por n.

2º A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos, a seguir: 27, 30, 30, 32, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual a idade média dos membros da diretoria desse clube?

     Considerando os dados do problema, observamos que: o valor 27 se repete 2 vezes; o valor 30 se repete 5 vezes; o valor 32 se repete 3 vezes.

      Assim, a média das idades pode ser calculada de forma mais simples:

27 . 2 + 30 . 5 + 32 . 3  =  54 + 150 + 96  =  300  = 30

          2 + 5 + 3                       10                 10

Então, a idade média dos membros da diretoria é 30 anos.

O número 30 assim obtido é chamado média aritimética.

3º As médias de uma garota da unidade de matemática foram: 6.0, 7.0, 5.0. Qual vai ser a média do bimestre dessa garota?

O professor não atribui pesos diferêntes para as notas.

Nesse caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e dividindo-se o resultado por 3

6.0 + 7.0 + 5,0   =   18  =  6.0

         3                   3 

O número obtido 6.0 pontos é chamado média aritimética dos números chamados 6.0, 7.0 e 5.0

O professor atribui pesos diferêntes para cada nota, conforme, o seguinte critério: a primeira prova tem peso 3; a nota do trabalho de pesquisa tem peso 2; a nota da segunda prova tem peso 5.

Neste caso, am édia da aluna é calculada assim:

6,0 . 3 + 7,0 . 2 + 5,0 . 5   =  18 + 14 + 25  =  57  =  5,7

          3 + 2 + 5                             10            10

Portanto a aluna teve média 5,7.

Neste caso, o número 5,7 é chamado média aritimética ponderada dos números 6,0; 7,0; 5,0.

Pelos exemplos dados, observamos que a média de uma aluna pode ser diferênte, embora as notas sejam as mesmas. Logo, vemos que uma média depende das regras estabelecidas para o seu cálculos.

Os vários tipos de representação gráfica constituem uma ferramenta importante, pois facilitam a análise e a interpretação de um conjunto de dados.


Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação (jornais, revistas, internet) e estão ligados aos mais variados assuntos do nosso cotidiano.
Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos interpretar as informações. Os dados coletados e distribuídos em planilhas podem ser organizados em gráficos e apresentados de uma forma mais clara e objetiva.


Várias instituições financeiras espalhadas pelo mundo (Bovespa, BM&F, Down Jones, Nasdaq, Bolsa de Nova York, Frankfurt, Hong-Kong, etc.) fazem uso dos gráficos para mostrar a seus investidores os lucros, os prejuízos, as melhores aplicações, os índices de mercado, variação do Dólar e do Euro (moedas de trocas internacionais), valorização e desvalorização de ações, dividendos, variação das taxas de inflação de países e etc.
O recurso gráfico possibilita aos meios de comunicação a elaboração de inúmeras ilustrações, tornando a leitura mais agradável.

Representações gráficas
Gráfico de segmentos


Observe a tabela que mostra a venda de livros de uma livraria no primeiro semestre de determinado ano:

O gráfico de segmento é utilizado principalmente para mostrar crescimento, decréscimo ou estabilidade.

Gráfico de Barras e de colunas


A tabela a seguir mostra o desempenho em Matemática dos alunos de uma determinada série:

Gráfico de setores

Noções elementares de Estatística: medidas de tendência central e de dispersão

1 – Introdução

No Novo Dicionário Brasileiro – Ed. Melhoramentos – 7ª edição – 1971 lê-se para o verbete estatística -  1. conjunto de processos que tem por objeto a observação, classificação formal e análise dos fenômenos coletivos ou de massa, bem como a indução das leis a que tais fenômenos globalmente obedeçam. 2. apresentação numérica, em tabelas ou gráficos, dos resultados da observação de fenômenos de massa. Claro que o termo massa , refere-se à população e não ao conceito físico.

Os dados estatísticos devem ser apresentados na forma de tabelas, de modo a facilitar a sua interpretação. Imaginemos por exemplo o conjunto de valores a seguir, coletados numa sala de aula com 32 alunos, referente às idades dos alunos em anos:

17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18,
19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20,
20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21,
21, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23.

Nota: dados expressos desta forma são ditos dados não agrupados.

Poderemos representar estes dados de uma forma mais organizada, conforme tabela a seguir, onde a coluna frequência representa o número de ocorrências de cada idade:

Idade (a)	Freqüência
17	3
18	5
19	5
20	7
21	8
22	2
23	2
Total	32

Observem que a apresentação dos dados na forma de tabela facilita e muito a interpretação.
Considere agora a relação dos pesos (em kg) de 30 alunos de uma sala, indicada a seguir:
75 – 68 – 75 – 59 – 68 – 80 – 84 – 68 – 80 – 68
68 – 75 – 75 – 80 – 80 – 75 – 80 – 68 – 84 – 75
68 – 59 – 68 – 80 – 80 – 68 – 80 – 75 – 68 – 80

Observem que estes dados não agrupados, podem até causar confusão para sua interpretação. E vejam que são somente 30 alunos; imaginem se fossem 3000?  Vejam os mesmos dados agrupados conforme tabela abaixo:

Peso (kg)	Freqüência (f)
59	2
68	10
75	7
80	9
84	2
Total	30

É evidente que a representação na forma de tabela é muito mais conveniente para qualquer análise que se deseje fazer em relação aos dados. O uso de tabelas (dados agrupados) é muito difundido em Estatística.
Os mesmos dados acima, poderiam ser agrupados com os pesos em classes de 10 em 10 kg, da seguinte forma:

Peso (em kg)	Freqüência
50 |---- 60	2
60 |---- 70	10
70 |---- 80	7
80 |---- 90	11
Total	30

Notas:
a) claro que poderíamos dividir os pesos de 5 em 5kg, 6 em 6kg, etc. Estes intervalos são denominados classes. 
b) o símbolo |--- significa que o extremo 50 pertence ao intervalo e o extremo 60 não pertence ao intervalo. Por exemplo, se quiséssemos indicar que o valor 60 pertence ao intervalo, escreveríamos: 50|---|60. (Os pontos tracejados devem ser escritos de forma contínua; não encontrei símbolo para isto no teclado).
Na Estatística, a representação dos dados através de tabelas é bastante comum. Estes dados tabulados são conhecidos como distribuições de frequência.